\subsection{相切在作图中的应用}\label{subsec:czjh2-7-15}

运动场上的跑道和有些凸轮的轮廓线（图 \ref{fig:czjh2-7-58}）等，是由线段和圆弧或几段圆弧平滑地连接起来的。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{6cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5.5cm]{../pic/czjh2-ch7-58-1.png}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{4cm}
        \centering
        \includegraphics[width=3.5cm]{../pic/czjh2-ch7-58-2.png}
    \end{minipage}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-58}
\end{figure}

线段所在的直线（圆弧所在的圆）与圆弧所在的圆相切于某一点，并且在切点的两侧，
就说线段（圆弧）和圆弧在这一点\zhongdian{连接}。
如图 \ref{fig:czjh2-7-59} 中，线段 $AB$ 和弧 $\yuanhu{AC}$ 在点 $A$ 连接，
图 \ref{fig:czjh2-7-60} 中， $\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{AC}$ 在点 $A$ 连接。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{5cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-59}
        \caption*{} % 与下面的图水平对齐
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-59}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{10.5cm}
        \centering
        \begin{minipage}[b]{5.6cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-60-a}
            \caption*{甲}
        \end{minipage}
        \begin{minipage}[b]{4cm}
            \centering
            \input{../pic/czjh2-ch7-60-b}
            \caption*{乙}
        \end{minipage}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-60}
    \end{minipage}
\end{figure}

图 \ref{fig:czjh2-7-60} 甲中， $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 外切于点 $A$，
我们称在连心线 $O_1O_2$ 两旁的 $\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{AC}$ 在点 $A$ \zhongdian{外连接}。
图 \ref{fig:czjh2-7-60} 乙中， $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 内切于点 $A$，
我们称在连心线 $O_1O_2$ 两旁的 $\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{AC}$ 在点 $A$ \zhongdian{内连接}。

由连接的定义可知，在图 \ref{fig:czjh2-7-60} 中， $\yuanhu{AB}$ 和 $\yuanhu{AC}$ 在点 $A$ 连接，
就是 $\yuan\,O_1$ 和 $\yuan\,O_2$ 在点 $A$ 相切， 因此点 $A$ 一定在连心线 $O_1O_2$ 上。
利用这个关系，可画圆弧与圆弧在某一点连接。


\liti 已知：如图 \ref{fig:czjh2-7-61}， $\yuanhu{AB}$ 的半径为 $R_1$， 圆心为 $O_1$， 线段 $R_2$。

\begin{wrapfigure}[8]{r}{6cm}
    \centering
    \input{../pic/czjh2-ch7-61}
    \caption{}\label{fig:czjh2-7-61}
\end{wrapfigure}

求作：半径为 $R_2$ 的 $\yuanhu{AC}$， 使 $\yuanhu{AC}$ 与 $\yuanhu{AB}$ 在点 $A$ 外连接。

分析： 要作 $\yuanhu{AC}$ 与 $\yuanhu{AB}$ 外连接，
就是要作 $\yuanhu{AC}$ 和 $\yuanhu{AB}$ 所在的圆在点 $A$ 外切。
因此 $\yuanhu{AC}$ 所在的圆的圆心 $O_2$ 一定在 $O_1A$ 的延长线上，
并且 $O_1O_2 = R_1 + R_2$。

\zuofa 1. 连结 $O_1A$， 并延长到点 $O_2$， 使 $O_1O_2 = R_1 + R_2$。

2. 以 $O_2$ 为圆心， $R_2$ 为半径作 $\yuanhu{AC}$， 使 $\yuanhu{AC}$ 与 $\yuanhu{AB}$ 在 $O_1O_2$ 的两侧。

$\yuanhu{AC}$ 就是所求的弧。

证明略。

% \begin{figure}[htbp]
%     \centering
%     % \begin{minipage}[b]{7cm}
%     %     \centering
%     %     \input{../pic/czjh2-ch7-61}
%     %     \caption{}\label{fig:czjh2-7-61}
%     % \end{minipage}
%     \qquad
%     \begin{minipage}[b]{7cm}
%         \centering
%         \input{../pic/czjh2-ch7-62}
%         \caption{}\label{fig:czjh2-7-62}
%     \end{minipage}
% \end{figure}


\liti 用圆弧连接，画椭圆的近似图形。

\zuofa 1. 任作一线段 $EF$。 以 $EF$ 为公共边作等边三角形 $CEF$ 和 $DEF$ （图 \ref{fig:czjh2-7-62}）。

2. 作 $\triangle CEF$ 的中线 $EK$、$FL$， 相交于点 $O_1$。

3. 作 $\triangle DEF$ 的中线 $EN$、$FM$， 相交于点 $O_2$。

4. 分别以 $O_1$、$O_2$ 为圆心， 以 $O_1K$ 为半径作 $\yuanhu{KAL}$、 $\yuanhu{MA'N}$。

5. 分别以 $E$、$F$ 为圆心， 以 $EK$ 为半径作 $\yuanhu{NB'K}$、 $\yuanhu{MBL}$。

\begin{figure}[htbp]
    \centering
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \input{../pic/czjh2-ch7-62}
        \caption{}\label{fig:czjh2-7-62}
    \end{minipage}
    \qquad
    \begin{minipage}[b]{7cm}
        \centering
        \includegraphics[width=5.5cm]{../pic/czjh2-ch7-subsec15-lx-02.png}
        \caption*{（第 2 题）}
    \end{minipage}
\end{figure}

% \begin{figure}[htbp] %
%     \centering
%     \includegraphics[width=5.5cm]{../pic/czjh2-ch7-subsec15-lx-02.png}
%     \caption*{（第 2 题）}
% \end{figure}

四条弧连接组成的图形就是椭圆的近似图形。

\begin{lianxi}

\xiaoti{说明近似椭圆的四条弧为什么是连接的。}

\xiaoti{按 $4:1$ 的比例尺，作出对应的图样。} % 原题为 “作出下面的图样”，因为排版的原因，将题目调整了一下
% 图片的代码原本应该放在这里，但由于分页时，将图片放在下一页。
% 而此后紧跟着 "习题 二十六"，为了避免将此图误以为是“习题 二十六”中的图，
% 所以，将代码上移。

\end{lianxi}

